Подобъект синоним

ПОДОБЪЕКТ

объекта категории — понятие, аналогичное понятию подструктуры математич. структуры. Пусть — произвольная категория и А — фиксированный объект из . В классе всех мономорфизмов из с концом в Авводится отношение предпорядка (отношение делимости справа): предшествует или , если m=m’s для нек-рого . В действительности, морфизм m’ однозначно определен, поскольку s — мономорфизм. Отношение предпорядка индуцирует отношение эквивалентности между мономорфизмами с концом в А:мономорфизмы и эквивалентны тогда и только тогда, когда и . Класс эквивалентных мономорфизмов наз. под объектом объекта А. П. с представителем иногда обозначают или (m]. Допускается также возможность с помощью т. н. символа t Гильберта произвести выбор представителей подобъектов объекта Аи рассматривать этих представителей в качестве подобъектов. В категориях множеств, групп, абелевых групп, векторных пространств П. любого объекта определяется канонич. вложением подмножества (подгруппы, подпространства) в объемлющее множество (группу, пространство). Однако в категории тополо-гич. пространств введенное понятие П. шире понятия подмножества с индуцированной топологией.

Отношение предпорядка между мономорфизмами с общим концом Аиндуцирует отношение порядка между П. объекта , если m<s. Это отношение аналогично отношению включения подмножеств некоторого множества.

Если мономорфизм m регулярен, то любой эквивалентный ему мономорфизм также регулярен. Поэтому можно говорить о регулярных П. любого объекта А. В частности, П. с представителем 1_A регулярен. В категориях с нулевыми морфизмами аналогично вводятся нормальные П. Если в категории существует бикатегорная структура , то подобъект (m:XА]объекта Аназ. допустимым (относительно указанной бикатегорной структуры), если .

М. Ш. Цаленко.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия.
.
1977—1985.

Смотреть что такое «ПОДОБЪЕКТ» в других словарях:

• подобъект технической эксплуатации — элемент технической эксплуатации — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия Синонимы элемент технической эксплуатации EN maintenance sub entityMSE …   Справочник технического переводчика

• АБЕЛЕВА КАТЕГОРИЯ — категория, обладающая рядом характерных свойств категории всех абелевых групп. А. к. были введены как основа абстрактного построения гомологич. алгебры (см. [4]). Категория наз. абелевой (см. [2]), если она удовлетворяет следующим аксиомам: А0.… …   Математическая энциклопедия

• ЛОКАЛИЗАЦИЯ — в категориях специальная конструкция, связанная со .специальными радикальными подкатегориями; она впервые появилась в абелевых категориях для описания т. н. Гротендика категорий с помощью категорий модулей над ассоциативными кольцами с единицей.… …   Математическая энциклопедия

• ОБРАЗ МОРФИЗМА — категории понятие, аналогичное понятию образа отображения одного множества в другое. Однако в теории категорий существует несколько подходов к определению этого понятия. Наиболее простой подход тесно связан с понятием би категории. Пусть в… …   Математическая энциклопедия

• ИДЕАЛ — специального рода подобъект в иек рой алгебраич. структуре. Понятие И. возникло первоначально в теории колец. Название И. ведет свое происхождение от идеальных чисел. Для алгебры, кольца или полугруппы Аидеал I есть подалгебра, подкольцо или… …   Математическая энциклопедия

• ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ ТЕОРИЯ — раздел дифференциальной геометрии, основанный на теории представления групп. Применение метода внешних дифференциальных форм позволяет ввести дифференциальные критерии Г. о. т., превращающие ее в эффективный аппарат дифференцпально геометрич.… …   Математическая энциклопедия

• ИНЪЕКТИВНЫЙ ОБЪЕКТ — такой объект I абелевой категории С, что для каждого мономорфизма а : отображение является сюръективным. Всякий инъективный подобъект I объекта А. выделяется прямым слагаемым. Произведение И. о. всегда И. о. В случае, когда каждый объект в… …   Математическая энциклопедия

• РЕТРАКТ — о б ъ е к т а к а т е г о р и и понятие, обобщающее соответствующие понятия алгебры и топологии. Объект Rкатегории наз. р е т р а к т о м объекта А, если существуют такие морфизмы что . Морфизм m при этом оказывается мономорфизмом и, более того,… …   Математическая энциклопедия

• ЯДРО — морфизма категории понятие, частными случаями к рого являются понятия ядра линейного преобразования векторных пространств, ядра гомоморфизма групп, колец и т. п. Пусть категория с нулевыми морфизмами. Морфизм наз. ядром морфизма если и всякий… …   Математическая энциклопедия

• Идеал (значения) — Идеал  многозначный термин Идеал в философии и многих других областях  представление о высшем совершенстве чего либо. Идеал (алгебра)  специального рода подобъект в некоторой алгебраической структуре. Идеал  село в Аларском… …   Википедия

объекта категории — понятие, аналогичное понятию подструктуры математич. структуры. Пусть — произвольная категория и А — фиксированный объект из . В классе всех мономорфизмов из с концом в Авводится отношение предпорядка (отношение делимости справа): предшествует или , если m=m’s для нек-рого .В действительности, морфизм m’ однозначно определен, поскольку s — мономорфизм. Отношение предпорядка индуцирует отношение эквивалентности между мономорфизмами с концом в А:мономорфизмы и эквивалентны тогда и только тогда, когда и . Класс эквивалентных мономорфизмов наз. под объектом объекта А. П. с представителем иногда обозначают или (m]. Допускается также возможность с помощью т. н. символа t Гильберта произвести выбор представителей подобъектов объекта Аи рассматривать этих представителей в качестве подобъектов. В категориях множеств, групп, абелевых групп, векторных пространств П. любого объекта определяется канонич. вложением подмножества (подгруппы, подпространства) в объемлющее множество (группу, пространство). Однако в категории тополо-гич. пространств введенное понятие П. шире понятия подмножества с индуцированной топологией.

Отношение предпорядка между мономорфизмами с общим концом Аиндуцирует отношение порядка между П. объекта , если m

Если мономорфизм m регулярен, то любой эквивалентный ему мономорфизм также регулярен. Поэтому можно говорить о регулярных П. любого объекта А. В частности, П. с представителем 1_A регулярен. В категориях с нулевыми морфизмами аналогично вводятся нормальные П. Если в категории существует бикатегорная структура , то подобъект (m:XА]объекта Аназ. допустимым (относительно указанной бикатегорной структуры), если .

М. Ш. Цаленко.

В теории категорий подобъект — это, грубо говоря, объект, который содержится в другом объекте категории. Определение обобщает более старые понятия подмножества в теории множеств и подгруппы в теории групп.^[1] Поскольку «настоящее» строение объектов в теории категорий не рассматривается, определение опирается на использование морфизмов, а не «элементов».

Определение

Пусть A — объект некоторой категории. Имея два мономорфизма:

u: S → A и

v: T → A

с общим образом A, будем говорить что u ≤ v если u «пропускается через» v, то есть если существует морфизм w: S → T, такой что u = v ∘ w. Определим следующее бинарное отношение:

u ≡ v тогда и только тогда, когда u ≤ v и v ≤ u.

Это отношение эквивалентности на мономорфизмах с образом A, назовём его классы эквивалентности подобъектами A. Мономорфизмы с образом A и отношением ≤ образуют предпорядок, но определение подобъекта гарантирует, что подобъекты A образуют частично упорядоченное множество.

Двойственное понятие к подобъекту — факторобъект; то есть, чтобы получить определение факторобъекта, нужно заменить в определении выше «мономорфизм» на «эпиморфизм» и поменять направление всех стрелок.

Примеры

В категории множеств подобъекты A соответствуют подмножествам A, или, точнее, классу всех вложений множеств, равномощных данному, в данное подмножество. То же верно в категории групп и в некоторых других категориях.

Примечания

Литература

• Mac Lane, Saunders. Categories for the Working Mathematician. — 2nd. — New York, NY : Springer-Verlag, 1998. — Vol. 5. — ISBN 0-387-98403-8.